Каква је разлика између Риеманнове интегралне и Риеманнове Стиелтјес интегралне?


Одговор 1:

Каква је разлика између Риеманнове интегралне и Риеманнове Стиелтјес интегралне?

Интеграл Риеманна Стиелтјеса је у односу на другу функцију, па уместо на

abf(x)dx\int_a^b{f(x)dx}

То је

abf(x)dG(x)\int_a^b{f(x)dG(x)}

. Ако

GG

може се разликовати од деривата

gg

, онда интеграл постаје

abf(x)g(x)dx\int_a^b{f(x)g(x)dx}

. За сада то нема никакве везе са Риеманновом дефиницијом интеграла. Могло би се дефинисати интеграл користећи други приступ (нпр. Интеграл Лебесгуе-а).

Шта ако

GG

није диференцирано? Узмимо пример,

G(x)=xG(x) = x

ако

x<2x < 2

и

G(x)=x+1G(x) = x+1

ако

x2x \ge 2

.Ifthedomainoftheintegralincludesthepointx=2,theStieltjesintegralwillbetheordinaryintegralplusacontributionduetothejump.. If the domain of the integral includes the point x = 2, the Stieltjes integral will be the ordinary integral plus a contribution due to the jump.

Интеграл Риеманна Стеилтјес-а изведен је на исти начин. Поделите домен на ограничен број делова. Проценити, оценити

f(x)f(x)

у тачки сваког интервала помножено са променом

G(x)G(x)

преко тог интервала и додајте. Затим узмите ограничење јер се дужина најдужег подинтервала тежи нули. Видећете да скокови дају допринос једнак вредности

f(x)f(x)

при скоку помножено са величином скока

G(x)G(x)

. Ако

f(x)f(x)

isnotcontinuousorthediscontinuityinGisnotsimplyajumpthesituationisslightlymorecomplicated.UsethedefinitionbasedonDarbouxsumsinstead,oruseaLebesgueStieltjesintegral(whichisaLebesgueintegralwithrespecttoadifferentmeasure). is not continuous or the discontinuity in G is not simply a jump the situation is slightly more complicated. Use the definition based on Darboux sums instead, or use a Lebesgue Stieltjes integral (which is a Lebesgue integral with respect to a different measure).